Le delta d’une option est une valeur dynamique qui change en même temps que le prix du sous-jacent. Quand le prix du sous-jacent XYZ augmente, le delta (positif) d’un call XYZ se rapproche de 100 et le delta (négatif) d’un put XYZ se rapproche de 0 ; quand le prix du sous-jacent baisse, le delta d’un call XYZ se rapproche de 0 et le delta d’un put XYZ se rapproche de -100. Un trader d’options peut donc éprouver le besoin d’estimer quel serait son nouveau delta, et donc quelle serait la nouvelle valeur de son option, si le prix du sous-jacent augmentait ou diminuait de tant. Pour ce faire, il peut s’aider du gamma de son option ou de sa position. Comme nous allons voir, le gamma mesure précisément la variabilité du delta.

Gamma Options

Définition

Le gamma d’une option

Qu’est-ce que le gamma ? Le gamma est la mesure dans laquelle le delta d’une option augmente/diminue quand le prix du sous-jacent augmente/diminue.

La valeur du gamma est généralement exprimé sous la forme d’un nombre positif. Il s’agit du nombre de deltas qu’il faudrait ajouter ou soustraire à l’ancien delta si le prix du sous-jacent augmentait ou diminuait de un point. Si le prix du sous-jacent augmente de un point, il faut ajouter le montant du gamma à l’ancien delta ; si le prix du sous-jacent diminue de un point, il faut soustraire le montant du gamma à l’ancien delta. Par exemple, si le gamma d’un call s’élève à 1 (0,01 dans le format décimal), le delta de l’option doit augmenter de 1 (0,01) point si le prix du sous-jacent augmente de un point. Et le delta de l’option doit diminuer de 1 (0,01) point si le prix du sous-jacent diminue de un point.

gamma options - gamma trading - chaîne options avec gamma

Dans l’illustration ci-dessus, le call SPY à la monnaie a un delta de 53 (0,53 dans le format décimal) et un gamma de 1 (0,01 dans le format décimal). Si le prix du sous-jacent augmente de un point, le nouveau delta de l’option s’élèvera à 54 (0,54 dans le format décimal). Si le prix du sous-jacent diminue de un point, le nouveau delta de l’option s’élèvera à 52 (0,52 dans le format décimal). Le put SPY à la monnaie a un delta de -47 (-0,47 dans le format décimal) et un gamma de 1 (0,01 dans le format décimal). Si le prix du sous-jacent augmente de un point, le nouveau delta s’élèvera à -46 (-0,46 dans le format décimal). Si le prix du sous-jacent diminue de un point, le nouveau delta s’élèvera à -48 (-0,48 dans le format décimal).

Le gamma d’une position

Le gamma d’un call ou d’un put est toujours positif. Mais il n’en va pas de même du gamma d’une position. Lorsqu’un trader a une position acheteuse, le gamma de la position longue est positif, quelle que soit la nature des options impliquées (des calls ou des puts). Lorsqu’un trader a une position vendeuse, le gamma de la position courte est négatif, quelle que soit la nature des options impliquées. Dans l’illustration ci-dessous, le short put du sous-jacent SPY présente, en tant que position courte, un gamma négatif de -1 (-0,01 dans le format décimal).  

gamma options - gamma trading - profil position avec gamma

Une position dont le gamma est positif voit son delta augmenter lorsque le prix du sous-jacent augmente. Puisqu’on ajoute alors un nombre positif (le gamma) à l’ancien delta. En revanche, elle voit son del­ta diminuer lorsque le prix du sous-jacent diminue. Puisqu’on soustrait alors un nombre positif (le gamma) à l’ancien delta. À l’inverse, une position dont le gamma est négatif voit son delta diminuer lorsque le prix du sous-jacent augmente. Puisqu’on ajoute alors un nombre négatif (le gamma) à l’ancien delta. En revanche, elle voit son delta augmenter lorsque le prix du sous-jacent diminue. Puisqu’on sous­trait alors un nombre négatif (le gamma) à l’ancien delta.

L’ami des acheteurs, l’ennemi des vendeurs

Cela signifie que le gamma est l’ami des acheteurs. En effet, il permet à une position longue d’empocher plus d’argent à chaque fois que le prix du sous-jacent évolue en notre faveur. Et il lui permet de perdre moins d’argent à chaque fois que le prix du sous-jacent évolue en notre défaveur. Prenons l’exemple du call long SPY dont on peut voir le profil ci-dessous. Son delta est positif (+56) : il s’agit donc d’une position haussière. Et son gamma s’élève à +5. Si le prix de l’ETF sous-jacent augmente et évolue en notre faveur, il faudra ajouter le gamma de la position (+5) à l’ancien delta (+56). La position présentera alors un delta de +61. Si bien qu’elle empochera non plus 56 $ mais 61 $ à chaque fois que l’ETF évoluera en notre faveur (à la hausse) de un point.

gamma options - gamma trading - profil position call long SPY à la monnaie

Si le prix de l’ETF sous-jacent diminue et évolue en notre défaveur, il faudra soustraire le gamma de la position (+5) à l’ancien delta (+56). La position présentera alors un delta de +51. Si bien qu’elle perdra non plus 56 $ mais seulement 51 $ à chaque fois que l’ETF évoluera en notre défaveur (à la baisse) de un point.

S’il est l’ami des acheteurs, le gamma est l’ennemi des vendeurs. Le gamma négatif des positions courtes fait que celles-ci gagnent moins d’argent à chaque fois que le prix du sous-jacent évolue en notre faveur. Et qu’elles perdent plus d’argent à chaque fois que le prix du sous-jacent évolue en notre défaveur.

Les fluctuations du gamma. Le risque gamma.

Fluctuations du gamma

Dans un cycle d’expiration donné, le gamma le plus élevé est celui des options à la monnaie. Dans le cycle ci-dessous du sous-jacent SPY qui expire le 30 juin, on peut voir que gamma du call et du put à la monnaie (de strike 382) est le plus élevé de tous. Et, à mesure qu’on s’éloigne de ce strike dans la monnaie ou hors de la monnaie, le gamma diminue.

gamma options - gamma trading - chaîne options avec gammas encadrés

La valeur du gamma d’une option ne dépend pas seulement de son rapport au strike à la monnaie. Le gamma dépend du nombre de jours restant avant l’échéance et de la volatilité du marché sous-jacent. Le gamma d’une option à la monnaie augmente si le nombre de jours restants ou si la volatilité diminue. Et le gamma d’une option à la monnaie diminue si on augmente le nombre de jours restants ou la volatilité. Dans la figure ci-dessous, on peut voir que la courbe du gamma correspondant à moins de jours et moins de volatilité (petits pointillés) est plus haute que les deux autres courbes.

gamma options - gamma trading - gamma en foncton du temps et de la volatilité
Source : Natenberg Sheldon, Option Volatility and Pricing Advanced Trading Strategies and Techniques, figure 9-20

Le risque gamma

Le gamma est à son maximum chez les options à la monnaie. Et le gamma d’une option à la monnaie augmente avec le passage du temps ou la baisse de la vola­tilité. Les traders ayant des positions courtes qui impliquent des options à la monnaie, près de leur date d’échéance et dans un marché sous-jacent peu volatil, s’exposent ainsi à un fort risque directionnel. Comme ces options sont à la monnaie, leur delta est proche de 50 s’il s’agit de calls ; de -50 s’il s’agit de puts. Mais comme leur gamma est élevé, leur delta peut rapidement passer à 100 s’il s’agit de calls ; à -100 s’il s’agit de puts. Avec un delta de 100 ou de -100, ces positions courtes seraient exposées au risque de voir leur P/L diminuer de près de 100 $ à chaque fois que le sous-jacent évoluerait en leur défaveur.

Pour éviter le risque gamma, il est conseillé de fermer ses positions plusieurs semaines avant l’échéance ; par exemple 21 jours avant l’échéance.

Comment estimer la valeur future d’options à l’aide du gamma

Nous disions en introduction qu’un trader d’options pouvait s’aider du gamma pour estimer la future valeur de son delta, et donc de ses options. Mais comment procéder ? Pour le montrer, nous suivons les explications fournies par Sheldon Natenberg, dans son remarquable ouvrage : Option Volatility and Pricing Advanced Trading Strategies and Techniques.

gamma options - gamma trading - Natenberg

Prenons le cas d’un call de valeur C, de delta Δ, et de gamma Γ. Quelle serait la nouvelle valeur de ce call si le prix du sous-jacent passait de S1 à S2 ? Pour estimer cette nouvelle valeur, on ne peut pas se contenter de multiplier la différence entre S2 et S1 par le delta initial et d’ajouter ce produit à la valeur initiale C du call. Car le delta est une valeur dynamique : il change en même temps que le prix du sous-jacent. Mieux vaut multiplier la différence entre S2 et S1 par le delta moyen du call. Pour calculer ce delta moyen, on doit d’abord calculer le delta qui serait celui du call si le prix du sous-jacent parvenait à S2 (delta final). On peut utiliser l’addition suivante :

Δ + [(S1 – S2) × Γ]

Pour calculer le delta moyen du call, on divise par deux la somme du delta initial et du delta final à l’aide de cette formule :

Delta moyen = [Δ + Δ + (S1 – S2) × Γ] / 2

On peut maintenant estimer la valeur finale du call en ajoutant à la valeur initiale du call le produit de la différence entre S2 et S1 par le delta moyen :

C + (S1 – S2) × [Δ + (S1 – S2) × Γ/2]

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