Prime d’option : une méthode simplifiée pour la calculer

Le modèle de Black-Scholes est le modèle mathématique le plus couramment utilisé pour calculer la prime d’une option.

Mais il prend en considération une multiplicité de facteurs et est difficile à manier pour les investisseurs qui n’ont pas de solides connaissances en mathématiques.

Dans cet article, nous présentons une méthode simplifiée qui ne permet que d’estimer approximativement la valeur d’une option. Cette méthode a cependant le mérite de laisser entrevoir les principes qui sont à l’œuvre dans le calcul du prix d’une option. Si vous cherchez un courtier pour trader les options, cliquez ici.

Prime d’option

Espérance mathématiques et juste prix

L’espérance mathématique d’une variable aléatoire, c’est la moyenne des valeurs qu’on peut espérer obtenir si l’on répète un grand nombre de fois la même expérience aléatoire. En mathématiques, l’espérance d’une variable aléatoire X se note E(X).

L’exemple du casino

Prenons l’exemple d’un joueur jouant aux dés au casino. À chaque coup de dé à six faces, il peut espérer gagner un montant égal au nombre de points sur la face supérieure du dé qui s’est immobilisé. Quelle somme ce joueur peut-il espérer gagner en moyenne s’il répète un grand nombre de fois, par exemple 6000 fois, l’expérience aléatoire consistant à jeter le dé ? S’il lançait son dé 6000 fois, notre joueur pourrait espérer gagner au total 21.000 $. Cela représenterait en moyenne 21.000 / 6.000 = 3,50 $ par coup de dé.

Si le casino laissait notre joueur jouer à ce jeu 6.000 fois et qu’il voulait proposer à ce joueur un prix où ni le casino, ni le joueur, ne serait avantagé sur le long terme, il ferait donc payer à notre joueur la somme de 3,50 $ à chaque coup de dé. Si notre joueur payait plus que 3,50 $, il perdrait de l’argent à terme. Et s’il payait moins que 3,50 $, il ferait un profit à terme. On peut donc dire que le juste prix pour jouer à ce jeu est 3,50 $.

La distribution uniforme

Dans notre exemple, les résultats possibles ont tous la même de probabilité de 1 sur 6. Si, donc, notre joueur jetait le dé 6 fois, on pourrait supposer une distribution où chacun des 6 résultats possibles ne se produirait qu’une seule fois. Le gain moyen que le joueur pourrait espérer dans ce scénario serait égal à = (1+2+3+4+5+6) / 6 = 3,50 $. Dans le cas d’une distribution uniforme où les gains possibles ont tous la même probabilité, le juste prix pour jouer au jeu d’argent se calcule en ajoutant les gains possibles et en divisant cette somme par le nombre de résultats possibles.

Le juste prix d’une option d’achat

Call à la monnaie

Utilisons les principes énoncés dans le chapitre précédent pour calculer le juste prix d’une option d’achat (call) à la monnaie.

Imaginons un trader achetant un call arrivant à échéance dans 3 mois et dont le prix d’exercice est 100. Si le prix de l’action sous-jacente est lui aussi égal à 100 $, notre call est alors à la monnaie. Supposonsque le prix de l’action ne puisse augmenter ni baisser de plus de 5 points et qu’il ne puisse pas ne pas être un nombre entier : à l’échéance de l’option, le prix de l’action est forcément égal à l’une de ces 11 valeurs : 95 $, 96 $, 97 $, 98 $, 99 $, 100 $, 101 $, 102 $, 103 $, 104 $ ou 105 $. Dans ces conditions, le prix du call à l’échéance est forcément l’une de ces valeurs : 0 $, 0 $, 0 $, 0 $, 0 $, 0 $, 1 $, 2 $, 3 $, 4 $ ou 5 $. Notre trader recevrait donc l’un de ces montants à l’échéance. Si ces gains possibles ont tous la même probabilité de survenir (distribution uniforme), on peut utiliser la méthode que nous avons définie plus haut pour calculer le juste prix du call. On peut ajouter les onze gains possibles et diviser la somme par onze. On obtient :

S’il paie ce montant pour acheter ce call, notre trader peut espérer n’enregistrer ni profit ni perte sur le long terme, puisqu’il peut espérer percevoir un gain moyen égal à 1,36 $.

Call dans la monnaie

Imaginons maintenant que le prix de l’action soit égal à 101 $ et que notre call de strike 100 soit dans la monnaie. Supposons à nouveau que les résultats possibles se distribuent symétriquement de part et d’autre du prix actuel de 101 $, qu’ils ne puissent pas ne pas être des nombres entiers et que le prix de l’action ne puisse augmenter ni baisser de plus de 5 points. Les résultats possibles dans 3 mois sont les suivants : 96 $, 97 $, 98 $, 99 $, 100 $, 101 $, 102 $, 103 $, 104 $, $105 et 106 $. Dans ces conditions, le prix du call à l’échéance serait à l’échéance l’une de ces valeurs : 0 $, 0 $, 0 $, 0 $, 0 $, 1 $, 2 $, 3 $, 4 $, 5 $ ou 6 $. Le gain moyen du trader et, donc, le juste prix du call serait :

On s’aperçoit sans surprise que le juste prix de ce call (1,91 $) alors qu’il est dans la monnaie est supérieur à celui qui était le sien lorsqu’il était à la monnaie (1,36 $). Nos équations nous font comprendre la raison de cette différence. Dans notre dernière équation, il n’y a que 5 zéros puisqu’il n’y a que 5 situations possibles dans lesquelles l’option expire hors de la monnaie et sans valeur ; dans notre équation précédente, il y avait 6 zéros puisqu’il y avait 6 situations dans lesquelles l’option expirait hors de la monnaie. Lorsque le prix de l’action est égal à 101 $, notre trader a donc plus de chances de voir son option avoir une valeur non nulle à l’échéance.

Call hors de la monnaie

Imaginons maintenant que le prix de l’action soit égal à 99 $ et que notre call de strike 100 soit hors de la monnaie. On voit dans l’image ci-dessous que, si on calcule le gain moyen que notre trader peut espérer recevoir, le juste prix du call s’élève maintenant à 0,91 $.

On s’aperçoit sans surprise que le juste prix de ce call alors qu’il est hors de la monnaie (0,91 $) est inférieur à celui qui était le sien lorsqu’il était à la monnaie (1,36 $). Nos équations nous font à nouveau comprendre la raison de cette différence. Dans notre dernière équation, il y a 7 zéros puisqu’il y a 7 situations possibles dans lesquelles l’option expire hors de la monnaie et sans valeur ; dans l’équation correspondant à la situation où l’option était à la monnaie, il y avait 6 zéros puisqu’il y avait 6 situations dans lesquelles l’option pouvait expirer hors de la monnaie. Lorsque le prix de l’action est égal à 99 $, notre trader a donc moins de chances de voir son option avoir une valeur non nulle à l’échéance.

Juste prix d’un call vs. prix du sous-jacent

Si on calcule le juste prix de notre call de strike 100 pour différents prix du sous-jacent (en faisant les mêmes hypothèses que précédemment), on obtient les résultats suivants :

On voit que, non seulement le prix du call augmente à mesure que le prix de l’action augmente, mais que cette augmentation s’accélère à mesure que le prix de l’action augmente. Lorsque l’option est loin hors de la monnaie, le taux auquel son prix augmente est égal à 0 / 1 = 0. En effet, lorsque le prix de l’action gagne 1 point (passant, par exemple, de 93 à 94 $), le prix de l’option ne gagne rien et reste égal à 0. Puis ce taux augmente à mesure que le prix de l’action augmente pour devenir égal à 1 / 1 = 1 lorsque l’option est loin dans la monnaie. Lorsque, en effet, le prix de l’action passe au-dessus de 105 $, le prix de l’option gagne 1 point à chaque fois que le prix de l’action gagne 1 point.

Si maintenant on utilise les valeurs du tableau ci-dessous pour représenter graphiquement la relation entre le prix de l’option et le prix du sous-jacent, on obtient une courbe dont la pente ascendante ne cesse de devenir plus abrupte, jusqu’au moment où elle devient une ligne droite. Ces caractéristiques sont identiques au graphique performance représentant la relation entre le prix d’un call et le prix de son sous-jacent, comme le graphique ci-dessous.

Le modèle de Black-Scholes

Dans les exemples ci-dessus, nous avons fait deux hypothèses irréalistes : 1/ celle d’une distribution uniforme des résultats possibles, où tous les prix possibles du sous-jacent ont les mêmes chances de survenir à l’échéance de l’option ; 2/ celle d’un prix du sous-jacent enfermé à l’intérieur d’un range limité, qui ne puisse augmenter ni baisser de plus de 5 points. Le modèle de Black-Scholes propose une méthode plus exacte d’évaluation en adoptant des hypothèses plus réalistes. Il accorde aux prix qui sont plus proches du prix actuel du sous-jacent une probabilité supérieure d’être le prix du sous-jacent à l’échéance des options. Et il tient compte de la possibilité de mouvements de grande ampleur de la part du prix du sous-jacent.

Investir dans les options via LYNX

Dans la plateforme de trading professionnelle TWS, vous disposez de nombreux outils pour trader vos options de manière professionnelle. Vous pouvez notamment utiliser l’outil Stratégie Builder pour construire d’un clic les positions de vos stratégies préférées. Découvrez les avantages de la négociation d’options via LYNX :